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Problème Exercice de mathématiques

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Message par daniel4872 le Mar 22 Sep 2009 - 20:50

Bonsoir tout le monde,
Je suis tombé sur cet exo sur internet et je ne suis vraiment pas sûr de moi, est ce que quelqu'un pourrait m'éclairer :
Exercice :
1) Démontrer que pour tout nombre réels a et b, on a toujours : (a+b)²< 2(a²+b²)
2) En déduire un encadrement de cosx + sinx pour tout x réel.

Je ne comprend pas très bien la 2), pourtant je crois avoir réussi la 1) mais bon je préfère m'assurer en demandant.

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Message par daniel4872 le Mar 22 Sep 2009 - 20:53

Ah oui j'ai oublié un détail je ne sais faire que les symboles pour les inégalités strictes sur mon clavier donc il faut comprendre < comme plus petit ou égal à zéro.

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Message par jonajo le Mar 22 Sep 2009 - 21:48

(a+b)²<2(a²+b²) équivaut à (a-b)²>0 qui est évident. L'inégalité de départ est donc démontrée.

On pose a=cosx et b=sinx. On a donc (cosx+sinx)² < 2(cos²x+sin²x), soit cosx+sinx < radicalde2

Voila ! Very Happy

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Message par daniel4872 le Mer 23 Sep 2009 - 7:51

Merci beaucoup ! ( ce que je me sens nul des fois ^^)

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Message par daniel4872 le Mer 23 Sep 2009 - 18:42

La solution est incomplète, je crois que cosx+sinx > -sqrt(2)
Sqrt étant la racine carrée

Sinon pour une équation du type sqrt(x+3) = x-3, je dois bien élever au carré des deux cotés pour supprimer la racine carrée puis résoudre avec delta etc ... ?

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Message par Tabloid le Mer 23 Sep 2009 - 19:03

Effectivement, -sqrt(2)<cosx + sinx<sqrt(2)
Et oui pour l'équation srt(x-3), mais surtout n'oublie pas de poser les conditions sur x, en effet x>3 car sinon ça fait une racine négative donc tu devras peut-être supprimer des solutions à la fin...

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Message par jonajo le Mer 23 Sep 2009 - 21:51

xD Comment je suis nul ! *sors*



PS : eh, dis qui t'es Tabloid...

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Message par ouklonklon le Dim 25 Oct 2009 - 16:39

Il faut trouver tous les triplets d’entiers naturels x y et z tq :
Sqrt_x + sqrt_y + sqrt_z= sqrt_1996

1996 =2² * 499
Il y a donc des solutions évidentes qui sont (0, 0, 1996) à l’ordre près et (0, 499, 499) à l’ordre près.

Ensuite on élève au carré, on obtient
x + y + z + 2 [ sqrt(xy) + sqrt(yz) + sqrt(xz) ] = 1996
D’où
2 [ sqrt(xy) + sqrt(yz) + sqrt(xz) ] est un entier natuel.
Je ne sais pas si c’est une bonne piste, quoi qu’il en soit je suis bloqué.
Qui peut m’éclairer ?
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Message par MLL le Lun 26 Oct 2009 - 14:20

Tssss... Tricheur!!! Razz
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Message par ouklonklon le Lun 26 Oct 2009 - 17:25

T’inquiète, c’est pas pour une étoile ^^ (comprendra qui pourra Mrgreen ), c’est juste pour savoir comment on le résout cet anacoluthe, cet apophtegme, huluberlu, bachi-bouzouk, anthropopithèque de mille millions de mille milliards de mille sabords de tonnerre de Brest de bougre d’exercice. Problème Exercice de mathématiques 37938 Razz
D’ailleurs, qu’est ce qu’ils en pensent les taupins : c’est un exo facile, difficile ou moyen ?
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Message par Arcos le Lun 26 Oct 2009 - 18:00

vraiment pas évident...
Je pense qu'il n'y a pas de solutions telle que x,y,z sont tous non nuls, mais ma démonstration a encore un point d'ombre. Après c'est trivial : il n'y a plus que 2 solutions, 6 avec les permutations.


Dernière édition par Arcos le Mar 27 Oct 2009 - 19:06, édité 1 fois
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Message par Whitedwarf le Lun 26 Oct 2009 - 21:45

@ouklonklon a écrit:Il faut trouver tous les triplets d’entiers naturels x y et z tq :
Sqrt_x + sqrt_y + sqrt_z= sqrt_1996

1996 =2² * 499
Il y a donc des solutions évidentes qui sont (0, 0, 1996) à l’ordre près et (0, 499, 499) à l’ordre près.

Ensuite on élève au carré, on obtient
x + y + z + 2 [ sqrt(xy) + sqrt(yz) + sqrt(xz) ] = 1996
D’où
2 [ sqrt(xy) + sqrt(yz) + sqrt(xz) ] est un entier natuel.
Je ne sais pas si c’est une bonne piste, quoi qu’il en soit je suis bloqué.
Qui peut m’éclairer ?

T'es allé au truc à Orsay samedi après midi? Tu t'es fait torcher la tronche xP?
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Message par ouklonklon le Mar 27 Oct 2009 - 17:22

Arcos, tu veux dire qu'au moins un des trois naturels est nul ?

Wdw: Nan, ragarde, on fait des trucs géniaux!
Imagine que t'as un triangle rectangle, la longueur de l'hypoténuse est 10. La hauteur qui a pour base l'hypoténuse a une longueur de 6. Quelle est l'aire du triangle?
a) C'est impossible de la calculer Suspect
b) 30 sunny
c) 60 cheers
d) aubergine à la puissance cornichon bom drunken
e) 42 (encore lui ...)

Alors, tu dis quoi ?
Attention y a peut être un piège Mrgreen
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Message par Whitedwarf le Mar 27 Oct 2009 - 17:54

*Mode chieur* : Ben y'a pleins de triangles....
Intuitivement, je dirais aubergine à la puissance cornichon, même si le mélange peut paraitre un peu... exotique
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Message par ouklonklon le Mer 28 Oct 2009 - 15:23

@Whitedwarf a écrit:*Mode chieur* : Ben y'a pleins de triangles....

Nan, y en a aucun, un tel triangle n'existe pas : il n'a pas d'aire.
En gros, c'est un truc pourri pour nous dire de pas foncer tête baissée dans un exercice.
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Message par Whitedwarf le Mer 28 Oct 2009 - 17:54

Mon intuition a donc une nouvelle foit poutré.
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