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Palindromes mathématiques

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Palindromes mathématiques

Message par mc3 le Ven 14 Juin 2013 - 12:26

Hello tout le monde,
je vous propose une énigme mathématique que j'ai trouvée sur internet et que je trouve intéressante, posée par Cédric Villani. (certains d'entre vous connaitront peut-être).
Vous savez tous ce qu'est un palindrome j'espère ?
Pour ceux qui ne connaissent pas, un palindrome est un mot ou ici, en l'occurrence, un nombre, qui se lit de la même façon dans les deux sens ( exemple : "mon nom" est un palindrome, 303 est un palindrome.. )
Voici l'énigme :
Après avoir trouvé le nombre de palindromes de 2, 3, 4,et 5 chiffres (sachant que continuer en dénombrant ceux de 6, 7 chiffres peut vivement vous aider), puis le nombre de palindromes de n chiffres, trouvez le nombre de palindromes de 351 chiffres.
Que ceux qui connaissent se taisent.
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Re: Palindromes mathématiques

Message par Loutre le Ven 14 Juin 2013 - 13:39

Pourquoi 351 en particulier ? A part parce que c'est le nombre de pokemons après la troisième génération (dixit un type à côté de moi) ?
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Re: Palindromes mathématiques

Message par mc3 le Ven 14 Juin 2013 - 13:41

Parce que c'est un nombre impair et que c'est l'énigme qui le dit, que veux-tu ?

EDIT : toi qui prépares l'agreg tu devrais trouver facilement non ?
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Re: Palindromes mathématiques

Message par cppower le Ven 14 Juin 2013 - 14:07

J'ai eu à peu près la même question en DS cette année et c'est assez facile...

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Re: Palindromes mathématiques

Message par mc3 le Ven 14 Juin 2013 - 14:08

c'est quoi la réponse ? Laughing
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Re: Palindromes mathématiques

Message par Loutre le Ven 14 Juin 2013 - 14:10

J'ai trouvé pour tout n. Mais je vois pas pourquoi l'énigme demande de le faire pour n=351 en particulier, donc ça m'intriguait...
Quand au fait que ce soit un nombre impair, ça change rien, on peut aussi le faire pour les nombres pairs (et on obtiendrait le même résultat avec n=352, d'ailleurs).
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Re: Palindromes mathématiques

Message par mc3 le Ven 14 Juin 2013 - 14:10

Nop, la formule n'est pas la même, pour ça que j'ai précisé que c'était impair.

EDIT : non victor en fait ne donne pas la réponse, on laisse les autres chercher, mea culpa. Smile
Loutre : tu peux me donner ton résultat par MP ?

EDIT 2 : désolé j'ai oublié de le préciser, mais aucune démonstration n'est demandée.
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Re: Palindromes mathématiques

Message par Loutre le Ven 14 Juin 2013 - 14:44

Oui, ça change quelque chose à la formule, mais je voulais juste dire que ça ne justifie pas le choix de 351, puisque le calcul est tout à fait faisable dans le cas pair aussi.
Je maintiens d'ailleurs qu'on a le même nombre de palindromes de 351 et de 352 chiffres.


Dernière édition par Loutre le Sam 15 Juin 2013 - 20:15, édité 2 fois
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Re: Palindromes mathématiques

Message par mc3 le Ven 14 Juin 2013 - 14:44

ok, j'ai pas vérifié mais je te fais confiance (c'est un peu normal ^^)

ÉDIT : je mettrai la solution dans une semaine.
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Re: Palindromes mathématiques

Message par Antoine P. le Sam 15 Juin 2013 - 16:20

J'ai trouvé aussi Wink
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Re: Palindromes mathématiques

Message par Staline le Jeu 20 Juin 2013 - 21:19

Cela m'a pris quelques minutes, mais j'ai fini par trouver. 
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Re: Palindromes mathématiques

Message par mc3 le Jeu 20 Juin 2013 - 22:27

Bon, je pense que tous ceux qui voulaient avaient le temps de chercher, donc je mets la correction en spoiler (c'est trop compliqué d'expliquer par soi-même, donc j'ai copié-collé une correction trouvée sur internet bien expliquée je trouve), ainsi que la deuxième question de l'énigme :
Quel est l'écart minimal entre deux palindromes de 351 chiffres ? (la réponse à la première énigme n'est pas indispensable, il suffit juste d'être astucieux)

Spoiler:
 



Les palindromes peuvent être considérés comme des nombres miroirs. Il y a les pairs et les impairs, qui ont respectivement 2.n et 2.n + 1 chiffres. Pour comprendre voici un schéma :
 
pairs
|.............| |............|
      n                n
 
impairs 
|.............||.| |............|
      n         1       n
 
Dans le cas présent, on a 351 chiffres. 2.n+1 = 351 => n = 175
On s'intéresse au n premier. Les n derniers, par reflet, seront donnés automatiquement.
Notons que le premier ne peut pas être nul. 01 c'est la même chose que 1, non ? Sinon ce ne serait pas du jeu !
En dénombrant, on a donc 9 manière de choisir le premier , 10 manières de choisir le 2eme, 10 le 3eme, etc. Mais n'oublions pas qu'il y a aussi 10 manières de choisir le dernier, le centriste, le solitaire qui n'a pas de reflet.
On a donc 9 * 10^174 *10 = 9 * 10^175 palindromes.




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Re: Palindromes mathématiques

Message par Staline le Lun 24 Juin 2013 - 19:11

 J'ai également trouvé !!!
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Re: Palindromes mathématiques

Message par mc3 le Lun 24 Juin 2013 - 19:13

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Re: Palindromes mathématiques

Message par Syrna le Mer 23 Avr 2014 - 20:26

Je ne suis pas sûre de ma réponse, je n'écris pas le raisonnement juste le nombre que c'est d'après moi. Si vous voulez continuer à chercher, ne cliquez pas sur le spoiler ^^ Mais j'aimerais bien savoir si c'est ça !

Spoiler:
10 puissance 175
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Re: Palindromes mathématiques

Message par Loutre le Jeu 24 Avr 2014 - 0:01

Presque. C'est la bonne idée (je vois pas comment tu serais arrivée à ça sinon).
Indice:
Tu as dû oublier que le premier chiffre ne peut pas être un 0 (sinon, ce serait pas un nombre à 351 chiffres avec l'écriture habituelle), et tu peux choisir le chiffre du milieu plus tous ceux qui sont avant, ce qui fait 176 choix, pas 175.
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Re: Palindromes mathématiques

Message par Syrna le Dim 27 Avr 2014 - 21:24

Ma nouvelle réponse:
Je pense que c'est 110 finalement !
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Re: Palindromes mathématiques

Message par Loutre le Lun 28 Avr 2014 - 20:30

Euh, non. Tu voulais dire 110, ou 10^110 ?
Dans tous les cas, tu étais plus proche avant.
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