Sujets DS 1èreS

Sûr que comparés aux exos de IOM les problèmes de spé maths au bac ;p Il nous rapportera une médaille musichien ein parce que bon franchement suffit de réfléchir non (a) ? ;p (quand on sait que les asiatiques sont entrâinés depuis le berceau ... enfin bon les russes sont pas mauvais non plus)

pour que tu connaisses le stage d'été, il faut que tu sois un peu informé, non?

Oui mais pas forcément dans l'équipe.

Euh, pour la médaille, si j'ai du bronze, je serais déjà super content!

Peut être encore un heureux hasard *j'allais dire improbable mais avec nos amis les puristes c'était le pléonasme ordurier ;p*

musichien a écrit:Euh, pour la médaille, si j'ai du bronze, je serais déjà super content!

La moitié des participants a au moins une médaille de bronze, non ?
Et on gagne quoi aux OIM à part une jolie médaille ?
En tout cas bonne chance ! C'est quand d'ailleurs ?

Nan, la médaille de bronze n'est attribuée qu'à 1/4 des participants (c'est déjà pas mal ;p) : l'année dernière le seuil inférieur représentait 15 points ;p. Cette année c'est à Hanoi du 19 au 31 juillet ^^

c3lc1u5 a écrit:Nan, la médaille de bronze n'est attribuée qu'à 1/4 des participants (c'est déjà pas mal ;p) : l'année dernière le seuil inférieur représentait 15 points ;p. Cette année c'est à Hanoi du 19 au 31 juillet ^^

Bah justement avec une médaille de bronze pour 1/4 des participants, une médaille d'argent pour 1/6 et une médaille d'or pour 1/12, ça fait la moitié

J'avais pas lu le "au moins". Je pensais que tu demandais la proportion de gens qui obtenais une médaille de bronze. Mille excuses

Bonne Chance pour les OIM

Que tous nos veux de réussite t'accompagnent !

(on veut une médaille d'or, non mais sans blague!)

c3lc1u5 a écrit:Nan, la médaille de bronze n'est attribuée qu'à 1/4 des participants (c'est déjà pas mal ;p) : l'année dernière le seuil inférieur représentait 15 points ;p. Cette année c'est à Hanoi du 19 au 31 juillet ^^

T'es bien informé, dis donc!
ça t'intéresserait? T'es à LLG, donc c'est encore plus facile pour toi d'avoir des contacts, mais tu peux aussi me demander que je demande.

La moitié des participants a au moins une médaille de bronze, non ?
Et on gagne quoi aux OIM à part une jolie médaille ?

Ouais mais même être dans la 1ère moitié...

La France est dans les 30èmes en général, même quand il y a des gens forts, donc pour une équipe peut-être moins forte que d'habitude...

Bonne Chance pour les OIM

Que tous nos veux de réussite t'accompagnent !

(on veut une médaille d'or, non mais sans blague!)

Merci pour les encouragements! (je quote ceux-là pasque c'est les derniers, mais les autres aussi ^^)

Il y a Tsuki, aussi!

Ca m'intéresse, ça m'intéresse ... certes mais faudrait que j'ai le niveau. On verra déjà l'année prochaine ce que je ferai en 1 ensuite on pourra commencer à se poser des questions ... ce qui est certain ce que je n'aurai jamais le niveau d'un Bruno ^^ *on peut faire ce que l'on veut c'est difficile de devenir plus intelligent et étant donné que je ne suis pas un monstre de travail*

Pour les informations le site des IMO est très bien documenté ;p


PS : depuis que musichien est démasqué *on ne se demandera pas s'il a un peu aidé à cette soit disant habile découverte ;p* il dénonce *c'est un mot un peu fort* ses futurs partenaires dans ... l'adversité ^^

ce qui est certain ce que je n'aurai jamais le niveau d'un Bruno ^^ *on peut faire ce que l'on veut c'est difficile de devenir plus intelligent et étant donné que je ne suis pas un monstre de travail*

Est-ce que moi j'ai le niveau de bruno, par exemple?

Non mais si tu veux augmenter tes chances, il faut que tu commences tout de suite! (je t'assure, on est vraiment plus à l'aise après un an "d'essai")

Si tu veux, je pourrais donner une bibliographie, mais le mieux, c'est encore les cours de www.animath.fr .

on ne se demandera pas s'il a un peu aidé à cette soit disant habile découverte ;p

Si j'avais voulu le dire, j'aurais fait une présentation.
En fait, c'est juste que je me sers *trop* (je m'adapte ) peu des MP.

Si j'avais voulu le dire, j'aurais fait une présentation.

Voyons tu peux être capable de finesse ;p

Je vais m'occuper de cela un peu, j'ai envie de comprendre un peu plus que les autres ... Alarcon m'a frustré avec ses problèmes qui m'ont toujours résistés. Enfin on aura tout de même appris à rélféchir. La découverte avec les maths est salvatrice, on se rend compte de ce que veut vraiment dire "être subtil et élégant" ;p

ça reste à voir

aux olympiades de première je n'ai été ni subtil, ni élégant, et pourtant....

Les olympiades académiques sont incomparables avec les "vraies" olympiades.


Quoique j'ai vu une fois un exercice, qui, sans être difficile, reprenait un exercice d'olympiade (pas d'IMO ) assez connu.

Vous voulez un exemple de beau problème olympique?

(juste pour vous convaincre que c'est tellement merveilleux)

Voyons tu peux être capable de finesse ;p

Oui, c'est vrai que j'essaye d'être vaniteux en finesse, mais là, ça n'aurait tellement pas été fin.

mais là, ça n'aurait tellement pas été fin.

Non certes, mais détourné tout du moins ;p

Vous voulez un exemple de beau problème olympique?

Pourquoi demander (a)

Mmm, ça veut dire oui?


Parce-que bon, en même temps ça fait bien dériver le sujet... (est-on à ça près? )

J'hésite...
Bon, celui-là : exo 6 1977, je crois:
soit f une fonction de N dans N telle que f(n+1)> fof (n).
Montrer que f= Id (j'imagine que vous savez ce que ça veut dire, mais sinon f(n) = n).

On remarque tout de suite que f n'est "relativement pas croissante": pour une fonction à peu près "normale", fof (n) est supérieur à f(n+1).

Si f=Id, ça marche, mais "juste juste", c'est-à-dire que fof (n) = n est juste à côté de f(n+1)= n+1.
On a donc l'intuition que dès qu'il y a un léger décalage "vers le haut", ça ne marchera plus, puisque la position qui marche, f=Id, est vraiment la seule position "tenable".

On voit aussi que l'inégalité est une sorte d'inégalité de récurrence.
Tout ceci nous pousse à essayer de déterminer f(0): si f(0) est plus grand que 0, il y a un décalage qui s'opère, et qui va avoir des répercussions sur la fonction pour des valeurs de n plus grande (comme une sorte de récurrence pour le décalage), tendant à la contradiction.

Voici ma solution, il y en a une autre encore plus jolie, qui est en réalité plus ou moins la même, mais cette autre est un peu plus difficile à mettre en forme, et un peu moins "naturelle".

Considérons l'ensemble décrit par f(n), pour n un entier naturel quelconque.
Il a un plus petit élément, que nous notons m_1, et qui est l'image d'un entier k_1.
Supposons que k_1 soit non nul, alors m_1=f(k_1) > fof (k_1-1) donc il existe une image (celle de f(k_1-1)) encore plus petite que m_1, ce qui est absurde, d'où k_1=0.

f(0) est donc la plus petite image possible, et elle ne se répète pas, c'est-à-dire qu'il n'y a que pour 0 que l'image est m_1, par la démonstration précédente (puisque sinon, on a une contradiction).

Soit m_2 la deuxième plus petite image, avec un entier k_2 tel que f(k_2)=m_2.
Alors m_2=f(k_2)> fof (k_2 -1), donc forcément, fof (k_2-1) = m_1, sinon ça voudrait dire qu'il existerait une autre image que m_1 inférieure à m_2, ce qui est absurde.
Or on a dit qu'il n'y a que 0 qui donne m_1, donc f(k_2-1) = 0, mais par hypothèse, m_1 est la plus petite image, donc elle est inférieure ou égale à f(k_2-1), tout en étant positive, donc m_1=0, et f(k_2-1)=0 implique k_2-1=0 soit k_2=1.

On a donc montré ainsi que f(0)=0, et que f(1) est la deuxième plus petite image.
Il n'y a pas de raison pour qu'on ne puisse pas continuer avec la 3ème plus petite image, la 4ème, etc.

Donc on fait une récurrence.

On va seulement montrer que f est strictement croissante, c'est-à-dire que ses images sont rangées par ordre croissant, ce qui correspond au fait de montrer que f(0) est la plus petite image, f(1) est la 2ème plus petite, f(2) est la 3ème plus petite...

Supposons donc que f soit strictement croissante de 0 jusqu'à n inclus, et supposons de plus que si k>n, alors f(k)>f(n) (cela correspond au fait que les n+1 premières images sont bien les plus petites).
Cela est vérifié pour n=0.

Si c'est vérifié pour n, alors soit f(k)= m la n+2ème plus petite image, c'est-à-dire la plus petite image strictement supérieure à f(n).
Par hypothèse, k>n.
Mais m=f(k)> fof (k-1) donc fof (k-1) est une image plus petite que f(k)=m, donc f(k-1) est compris entre 0 et n, or il est clair que f(n) est supérieur ou égal à n, donc f(k-1) est compris entre f(0) et f(n), donc k-1 est compris entre 0 et n (inclus), donc k est inférieur ou égal à n+1, or k est strictement supérieur à n, donc k=n+1.

Ainsi, f(n+1) est strictement supérieur à f(n), et k> n+1 implique f(k)> f(n+1) (la démonstration précédente implique que f(k) ne peut être égal à f(n+1), pour les mêmes raisons que ce que l'on avait fait avec 0).

Cela conclut la récurrence, qui montre que la fonction est bien strictement croissante.

mais du coup, f(n+1)> fof (n) implique n+1> f(n) or il est clair que, puisque f est croissante, f(n) est supérieur ou égal à n, donc finalement, f(n)=n donc f=Id.

Vous dites si c'est pas clair/pas joli, auquel cas je réexplique, ou je change d'exercice, de façon à ne pas vous dégoûter, parce-que je vous assure que c'est vraiment une expérience formidable, les olympiades!

belle récurence....

faut y penser

En fait, l'idée peut venir assez naturellement, déjà parce-qu'avec un dessin, on peut voir un peu le truc, et une fois qu'on l'a fait pour f(0) et f(1), il paraît à peu près clair qu'on peut faire pareil pour les suivants.
Après, on regarde ce qui nous a permis de conclure pour 0 et 1, et en fait, on voit que c'est que quand on en prend un "non déterminé", n, et qu'on le met le plus près possible de ceux qui sont déterminés, l'inégalité fait "tomber" une expression en fonction de n dans ceux qui sont déterminés, ce qui nous permet justement de déterminer n, et donc de le ranger avec les déterminés.