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Une erreur dans cet énoncé de math? é_è

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Une erreur dans cet énoncé de math? é_è

Message par Spleen le Mar 5 Fév 2008 - 20:40

Hey les amis,
mon prof m'a donné un exo niveau première à faire pour demain (il veut tester mes connaissances pour écrire la lettre de recommandation). Alors si j'étais fourbe, inculte mathématique, tricheuse, etc.., je vous demanderai la réponse. Que nenni, c'tait facile à trouver (l'honneur est sauf Very Happy). Seulement, il me semble qu'il y a une erreur dans l'énoncé, et je me demandais là s'il ne s'agissait pas d'une perfide tentative de mon prof pour trouver la raison de ne pas me faire c'te foutue lettre.
(x^2 signifie x au carré Smile)
Soient x et y deux réels. Montrer que:

2((x^2/y^2) + (y^2/x^2)) - 3( (x/y)+ (y/x))+6 est supérieur ou égal à zéro .

Bon, c'est un classique changement de variable, c'est un exo à torcher en 5 minutes... Soit K=x/y+y/x

=2K^2-4-3K+6
=2K^2-3K+2
Mon problème: je trouve un delta inférieur à zéro. J'en conclue que le signe de la fonction est celui de a sur R, c'est à dire positif. On a alors:
2((x^2/y^2) + (y^2/x^2)) - 3( (x/y)+ (y/x))+6 est supérieur à zéro.
Mais delta est négatif, donc le trinôme n'a pas de racine réelle. Alors d'où vient ce csgrmblck de ou égal?

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Re: Une erreur dans cet énoncé de math? é_è

Message par ******* le Mar 5 Fév 2008 - 21:47

On peut montrer que : 2[(x^2/y^2) + (y^2/x^2)] - 3[(x/y) + (y/x)] + 6 >= 4 avec x et y n'importe comment.
En fait, si on a une égalité stricte, on peut écrire "ou égal".
C'est pas une erreur, c'est juste moins précis.
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Re: Une erreur dans cet énoncé de math? é_è

Message par Spleen le Mar 5 Fév 2008 - 22:22

-je suis partie du principe que le supérieur ou égal <=> il existe un couple (x;y) tel que f soit égale à zéro.
2[(x^2/y^2) + (y^2/x^2)] - 3[(x/y) + (y/x)] + 6 >= 4
L'énoncé n'est pas celui-ci, on veut montrer que f est supérieure ou égale à zéro (pas quatre). Or je n'ai pas pu trouver de couple x et y tel qu'elle soit égale à zéro (le "ou égale" est donc à proscrire, non?).

Enfin, merci tout de même de ton aide, j'ai honte de buter sur un exo aussi trivial (mais je bute pas, je me demande juste l'utilité du ou égal , heing Very Happy )

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Re: Une erreur dans cet énoncé de math? é_è

Message par ******* le Mar 5 Fév 2008 - 22:38

@Spleen a écrit:L'énoncé n'est pas celui-ci, on veut montrer que f est supérieure ou égale à zéro (pas quatre). Or je n'ai pas pu trouver de couple x et y tel qu'elle soit égale à zéro (le "ou égale" est donc à proscrire, non?).
Je sais bien que ce n'est pas le sujet. Mais si c'est plus grand que 4, a fortiori, c'est plus grand que 0.
Donc tu n'en trouveras jamais. Rolling Eyes
Mais si tu veux montrer à ton prof qu'il a fait une faute de frappe ou qu'on peut améliorer son énoncé, tu peux toujours montrer cette inégalité.

En fait, même si tu peux changer ton supérieur ou égal en strictement supérieur, ça ne pose pas de problème.

@Spleen a écrit:-je suis partie du principe que le supérieur ou égal <=> il existe un couple (x;y) tel que f soit égale à zéro.
Non.
Supérieur ou égal, ça veut dire que :
Si c'est supérieur, alors l'assertion "supérieur ou égal" est vraie;
Si c'est égal, alors l'assertion "supérieur ou égal" est vraie;
Si c'est inférieur, alors l'assertion "supérieur ou égal" est fausse.

En fait c'est :
Il existe (x,y) tel que f(x,y) = 0 => f(x,y) >= 0
Il existe (x,y) tel que f(x,y) > 0 => f(x,y) >= 0
Les réciproques sont fausses.

Si tu veux montrer que f(x,y) >= 0, tu dois montrer :
- ou bien que f(x,y) = 0 (1)
- ou bien que f(x,y) > 0 (2)
Mais en faisant varier x et y, tu peux ne tomber que sur (2) et jamais sur (1) et ce que tu veux montrer, ie "f(x,y) >= 0" est quand même vrai (même si tu tombes jamais sur x et y qui vérifient (2)).

Donc oui, le "ou égal" est strictement inutile, mais c'est pas faux de l'écrire. study
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Re: Une erreur dans cet énoncé de math? é_è

Message par Spleen le Mar 5 Fév 2008 - 23:43

Aah d'accord, la réciproque est fausse! Excuse alors mon ignorance. Il faudrait que je me trouve d'urgence un cours de logique (c'est bien de la logique?).
Merci beaucoup pour l'explication.

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Re: Une erreur dans cet énoncé de math? é_è

Message par Adricles le Mer 6 Fév 2008 - 20:09

c'est de la logique, oui

Y. a très bien expliqué ça (je crois que je peux mettre ton prénom maintenant ça fait longtemps que tu es grillé)

d'ailleurs Sanchez avait fait ça dans un DS (un crochet fermé qui aurait pu être ouvert) et ça en avait perturbé plus d'un... Laughing


Dernière édition par le Mer 6 Fév 2008 - 20:39, édité 1 fois
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Re: Une erreur dans cet énoncé de math? é_è

Message par Spleen le Jeu 7 Fév 2008 - 0:09

Merci pour la précision. J'ai trouvé un cours de logique sympathique et un manuel de bonne rédaction. Je trouve le second spécialement bien fait et explicite, si ça en intéresse quelques uns: ici

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Re: Une erreur dans cet énoncé de math? é_è

Message par MLL le Jeu 7 Fév 2008 - 20:15

Je n’arrive pas à trouver que 2(x²/y² + y²/x²) – 3(x/y + y/x) + 6 >= 4
Comment est-ce qu’on y arrive ?

Je trouve seulement que 2(x²/y² + y²/x²) – 3(x/y + y/x) + 6 >= 7/8

Voilà comment j’ai fait :
on pose K= x/y + y/x (comme l’a-dit Spleen)

D’où
2(x²/y² + y²/x²) – 3(x/y + y/x) + 6 =
2K²-3K+2 =
2 [K² - 3K/2 + 1] =
2 [K² -2*3K/4 + (3/4)² - (3/4)² + 1] =
2 [ (K- ¾)² + 7/16]

Après tout est simple :
(K – ¾)² est positif
D’où (K- ¾)² + 7/16 >= 7/16
Alors 2 [ (K- ¾)² + 7/16] >= 7/8
Nous déduisons donc que pour tous réels x et y non nuls
2(x²/y² + y²/x²) – 3(x/y + y/x) + 6 > 0


Mais là n'est pas ma question. J'aimerais juste savoir comment on démontre que f(x,y)>= 4
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Message par ******* le Jeu 7 Fév 2008 - 21:17

@MLL a écrit:Je n’arrive pas à trouver que 2(x²/y² + y²/x²) – 3(x/y + y/x) + 6 >= 4
Comment est-ce qu’on y arrive ?

Je trouve seulement que 2(x²/y² + y²/x²) – 3(x/y + y/x) + 6 >= 7/8
En posant K= x/y + y/x,
E = 2(x²/y² + y²/x²) – 3(x/y + y/x) + 6 = 2 [ (K - ¾)² + 7/16],
donc E est d'autant plus petit que K est proche de 3/4.

On pose pour x différent de 0, f(x) = x/y + y/x, y étant un réel non nul fixé.
En étudiant f, on trouve :
- ou bien un maximum relatif sur IR+ et une minimum relatif sur IR-,
- ou bien un minimum relatif sur IR+ et une maximum relatif sur IR-,
suivant le signe de y.
Le minimum et le maximum sont atteints pour |x| = |y|.
Et on a |f(y)| = |f(-y)| = 2
De plus, quel que soit x, f(x) <= -2 et f(x) >= 2.
ie K est ou bien plus petit que -2, ou bien plus grand que 2.

La valeur la plus proche de 3/4 que K peut prendre est 2.
Donc E est minimal pour K = 2 ie x = y, et on obtient E = 4.
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Re: Une erreur dans cet énoncé de math? é_è

Message par MLL le Jeu 7 Fév 2008 - 21:32

Merci beaucoup! Smile
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Re: Une erreur dans cet énoncé de math? é_è

Message par Eimear Quinn le Ven 8 Fév 2008 - 11:27

finalement notre Y s'est trouvé une nouvelle vocation, prof, tuteur! et je trouve que ca lui va plutôt bien comme boulot! Cool
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Re: Une erreur dans cet énoncé de math? é_è

Message par Spleen le Ven 8 Fév 2008 - 14:40

Brillante explication Very Happy Ce n'est pas ainsi que j'avais pensé prouver, mais c'est certainement plus élégant que ma démonstration (qui rejoignait la tienne):
f(x)=2K²-3K+2
f'(x)=4K-3
La dérivée s'annule pour K=3/4. (à partir de là ma démo est exactement la même que celle de 7* mais en plus embrouillé). Mais: on pose g(x)=x/y+y/x, il est facilement prouvable que g(x) >2 ou <-2:
on pose X= x/y, d'où g(x)=X+1/X. Suivant le signe de x et y:
x et y positifs:
g(x)=(VX+1/X)^2-2 d'où un minimum de 2 ou dans le cas négatif (x ou y négatif) un maximum de -2. On cherche alors les valeurs de x et y pour lesquelles f(x) est rendu le plus près possible de 3/4 (c'est à dire 2 ). x/y+y/x=2
x^2+y^2=2xy
(x-y)^2=0
<=> x-y=0 donc x=y

Pour K=2, f(x)=4. D'où le minimum de f(x) = 4.

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