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Exos secondes

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Re: Exos secondes

Message par Enialiss le Lun 30 Juil 2007 - 17:35

Ah.. oui.. lol Razz

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Re: Exos secondes

Message par Invité le Mar 31 Juil 2007 - 15:06

La premiere chose qui me vient a l'esprit en voyant les exo de maths c'est : Mais pourquoi je suis ici alors que je pourrais me gaver de chocolat a cet instant?? En gros ca me decourage a max surtout que je suis une tannee en maths. (Me demande pourquoi il m'ont pris...)

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Re: Exos secondes

Message par peace le Mar 31 Juil 2007 - 15:19

Pas tout les profs de LLG ne donnent d'exercices aussi difficiles...
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Re: Exos secondes

Message par Grand Ric le Mar 31 Juil 2007 - 17:17

Mais au moins quand tu te dis que LLG est bien différent d'un établissement normal en rentrant en 2nde, Alarcon ne trompe pas la réputation ! xD Une démonstration par récurrence le premier jour, sortant d'un pauvre petit cycle de collège bien tranquille, ça a de quoi perturber le cerveau... Laughing
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Re: Exos secondes

Message par peace le Mar 31 Juil 2007 - 17:47

Evidemment, moi même j'étais sous le choc en regardant les corrigés au début, mais heuresement pas tous les profs ne vont au rythme de M. Alarcon. Il y a certains profs qui commencent plus que sur les chapeaux de roues, mais d'autres vont certes vite, mais pas non plus à parler de récurrence dès la fin de la 3ème...


Dernière édition par le Mar 31 Juil 2007 - 17:52, édité 1 fois
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Re: Exos secondes

Message par Grand Ric le Mar 31 Juil 2007 - 17:50

Oui faut pas généraliser, les profs de maths à LLG sont nombreux et chacun a son style ^^
Il n'y a qu'Alarcon pour passer plus d'un mois sur la logique, quand tous les autres en sont déjà à leur second, voire troisième chapitre... rabbit
Mais bon, passez pas vos vacances sur les maths non plus, les vaaacances c'est fait pour PAS travailler, quoi qu'on dise !!! Razz
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Re: Exos secondes

Message par khimo77 le Mer 1 Aoû 2007 - 22:54

Ca veut dire que si t'as Alarcon, t'as que des exos de ce genre pendant les DS ?

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Re: Exos secondes

Message par Invité le Mer 1 Aoû 2007 - 22:59

Pas à ce point là. Ca, c'est le test de rentrée.

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Re: Exos secondes

Message par peace le Mer 1 Aoû 2007 - 23:02

Au début ça te semble infaisable, mais au fur et à mesure de l'année, que tu auras bien compris la méthode, tu les verras d'une autre manière.
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Re: Exos secondes

Message par khimo77 le Mer 1 Aoû 2007 - 23:06

Ah ouf, parce que là Rolling Eyes ... Et merci pour les réponses.

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Re: Exos secondes

Message par Anto le Jeu 2 Aoû 2007 - 7:27

@Grand Ric a écrit:Mais au moins quand tu te dis que LLG est bien différent d'un établissement normal en rentrant en 2nde, Alarcon ne trompe pas la réputation ! xD Une démonstration par récurrence le premier jour, sortant d'un pauvre petit cycle de collège bien tranquille, ça a de quoi perturber le cerveau... Laughing

Oui ça m'a choqué aussi, j'ai fait la plupart des exos parce que je suis venu m'inscrire le jour des secondes et qu'on m'a refilé cette feuille. N'ayant pas été à LLG au lycée ça m'a quand même choqué que la plupart demande des connaissances apprises en TS (équation diochantienne, récurence) et surtout la notion de démonstration d'une propriété qui est quand même plus qu'abstraitre en 3eme (théorème et démonstration c'est très flou à cette période).

Bref sur le coup ça m'a choqué puis j'ai compris que ça faisait probablement parti d'un délire propre à un prof du genre on met l'exo le plus dur possible aux élèves comme ça ils vont morfler mais au moins au bout d'un an ils sauront en faire.
Au moins comme ça il laisse planer le mythe sur le niveau à LLG et la différence avec une seconde "normale" comme à Duruy Very Happy
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Re: Exos secondes

Message par pimprenelle le Jeu 2 Aoû 2007 - 9:50

Sympa! J'imagine que si c'est déjà comme ça en seconde, ça ne peut qu'être "pire" en prépa... (les exos du concours gé?... juste un échauffement... affraid ). Mais bon, ça va changer des éternels exos d'anales de bac qui ne sont pas super stimulants pour la matière grise... Smile

En plus, sauf erreur de ma part, les équations diophantiennes ne sont qu'au programme de spé, non?
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Re: Exos secondes

Message par Anto le Jeu 2 Aoû 2007 - 12:14

Oui pour les équations,

Mais après il doit y avoir un moyen intuitif de résoudre la plupart des exos, et le prof n'attend probablement pas un raisonnement de TS
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Re: Exos secondes

Message par The Dude le Jeu 2 Aoû 2007 - 12:46

peaceforall a écrit:Au début ça te semble infaisable, mais au fur et à mesure de l'année, que tu auras bien compris la méthode, tu les verras d'une autre manière.
Ouais enfin ça reste quand meme pas évident. Pour m'etre replongé dans la feuille y'a pas longtemps avec un autre futur 1s1, y'en a qu'on sait toujours pas faire...
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Re: Exos secondes

Message par peace le Jeu 2 Aoû 2007 - 14:20

J'ai pas dit que tu les ferais d'un coup, mais que tu découvriras une manière avec tes moyens de les faire, au fur et à mesure.

Mais après il doit y avoir un moyen intuitif de résoudre la plupart des exos, et le prof n'attend probablement pas un raisonnement de TS

Tu as tout compris, c'est le but recherché.
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Re: Exos secondes

Message par okidoki le Jeu 2 Aoû 2007 - 17:14

KtX a écrit:Hmm.. tu sais deja que t'es en seconde 6??... J'suis à la bourre alors.. Suspect

Merci pour les exos

PS : CS c'est mal..

Toi aussi tu connnais ta classe, la seconde 5 Wink . Enfin si tu es en seconde oriental comme j'ai cru comprendre. http://fcpe.llg.free.fr/FR/index.php?option=com_content&task=view&id=17&Itemid=19

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Re: Exos secondes

Message par pimprenelle le Ven 3 Aoû 2007 - 11:16

@Anto a écrit:Mais après il doit y avoir un moyen intuitif de résoudre la plupart des exos

Ouais certainement, et en plus c'est la plupart du temps très formateur de découvrir soi-même des "façons" de résoudre des exos.
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Re: Exos secondes

Message par musichien le Sam 4 Aoû 2007 - 11:35

Comme c'est excessivement difficile (je veux dire pour des secondes), je ne sais pas si c'est une bonne idée, mais je peux proposer éventuellement des solutions, peut-être par MP, et seulement à ceux qui auront vraiment cherché. Ou peut-être, plus efficace, proposer des pistes.
Enfin je dis ça, c'est pour ceux qui n'arrivent plus à dormir à cause de ces exos (et parce-que ces exos sont typiquement "olympiques" et que j'y suis un peu habitué). Laughing

Pour l'exo 16, la première inégalité est dans le mauvais sens. La 2ème marche, par contre.

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Re: Exos secondes

Message par Invité le Sam 4 Aoû 2007 - 18:08

@Anto a écrit:équation diochantienne
Very Happy

(Pardon.)

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Re: Exos secondes

Message par musichien le Dim 5 Aoû 2007 - 20:25

les exos d'Alarcon ont l'air de passionner les foules. Very Happy

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Re: Exos secondes

Message par Roxanne le Lun 6 Aoû 2007 - 16:52

@musichien a écrit:les exos d'Alarcon ont l'air de passionner les foules. Very Happy

passionner c'est pas exactement le mot que ca m'a inspiré à l'epoque...
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Re: Exos secondes

Message par musichien le Mar 7 Aoû 2007 - 21:30

Je me suis amusé à rédiger des indices et des solutions à partir du 10 (vu que peu de personnes semblent s'intéresser aux jolis exercices d'alarcon, j'espère que cela pourra éventuellement stimuler leur recherche... Very Happy):

Spoiler:

10: calculer volumes/concentrations

11: faire la somme du nombre de côtés de chaque face

12: raisonner par l'absurde.
Prendre 2 points de la même couleur. Trouver tous les points pour lesquels on est sûr de leur couleur à partir de ces 2 points. Recommencer à partir des points trouvés. Recommencer encore, jusqu'à trouver une contradiction, qui arrive assez vite.

Autre solution: faire pareil en imposant la contradiction dès la 1ère fois qu'on recommence, et en vérifiant qu'on peut bien imposer la contradiction.

13: par l'absurde, regarder quelle surface interdit un point, 2 points, 3 points...

14: pas fait, pas attirant.

15: Raisonner par l'absurde. Trouver le 15ème nombre premier, noté p. Montrer par l'absurde que les 15 nombres ne peuvent pas tous avoir leur plus petit diviseur strictement inférieur à p (à part 1).

16: 1) Démontrer que a²+b² > 2ab pour a différent de b. Utiliser ce fait.
2) Faire en sorte d'avoir un facteur 3 dans le membre de droite.
Factoriser à gauche puis appliquer le 1) au membre de gauche.
Observer attentivement la nouvelle inégalité à montrer, notamment la développer.

17: Utiliser 2 fois le fait que a²+b² est supérieur ou égal à 2ab.

18: Pour un segment dans S, quel est le lieu géométrique des points auxquels on a droit? Pour un triangle dans S, que devient ce lieu?
Considérer le plus grand triangle de S.

19: Une situation est symétrique lorsqu'en permutant (changer l'ordre) des variables, elle ne change pas.
L'opération i) montre qu'on doit trouver un invariant symétrique.
On doit considérer donc une certaine quantité avec des propriétés invariantes par i) et ii).
Un truc avec des carrés serait visiblement un peu compliqué (mais à essayer souvent).
Donc il faudrait un truc de la forme xa+yb+zc, mais comme cela doit rester symétrique, si on permute par exemple a et b, xb+ya+zc est une quantité totallement différente, donc quitte à considérer un truc de cette forme, il faut prendre x=y=z (pour avoir la même quantité en permutant les variables), et autant prendre x=y=z=1 ou -1 dans ce cas là (puisque mettre un facteur devant ne présente pas tellement d'intérêt).

Donc on considère a+b+c ou -a-b-c. Regarder si on peut avoir un multiple de 3 ou pas, en partant de (2,5,13).

20) Faire comme indiqué dans l'indice. (Considérer que 4 personnes qui se connaissent 2 à 2, c'est un triangle de personnes qui se connaissent, et une personne qui connaît les 3 personnes du triangle. Mais à la limite, c'est pas le plus important.)

Si une personne en connaît au moins 6 autres, que se passe-t'il?
Si une personne ne connaît pas au moins 4 autres, que se passe-t'il?

Si aucune personne ne connaît au moins 6 personnes et qu'aucune personne ne connait pas au moins 4 personnes, cela signifie que tout le monde connaît exactement 5 personnes. Est-ce possible?



Spoiler:


10- Soit c le volume de la cuillère, V celui de la tasse.
On introduit dans la tasse un volume c de calvados, qui a une concentration en calvados de c/ (c+V), donc on retire ensuite un volume c*c/(c+V) de calvados, d'où il reste c/(c+V) - c²/(c+V)= cV/(c+V) volume de calvados dans la tasse.

Quand on prend du liquide de la tasse après avoir mis du calvados, la concentration en café est V/(c+V), donc on introduit dans le calvados une quantité cV(c+V) de café.

Il y a donc autant de liquide étranger dans les deux récipients.

11- Supposons par l'absurde que toutes les faces aient un nombre impair de côtés.
Si on fait la somme S du nombre de côtés de chaque face, vu qu'il y a un nombre impair de faces, on obtient un nombre impair.
Or, chaque côté étant une arête, qui appartient à exactement 2 faces, chaque arête est comptée exactement 2 fois dans la somme S.
Autrement dit, S= 2 fois le nombre d'arêtes, donc S et paire, d'où la contradiction.

12- On suppose par l'absurde qu'il n'existe pas de triangle équilatéral d'une seule couleur.

1ère solution: on prend 2 sommets bleus A et B distants de 1. Ils existent sinon on a clairement une contradiction.
On trace les 2 triangle équilatéraux ayants pour côté AB (ils sont symétriques par rapport à (AB)).
On obtient les points C et C', qui sont rouges par hypothèse absurde.

On trace les 2 triangles équilatéraux ayant pour côté CC'.
On obtient les points D et D', qui sont bleus par hypothèse absurde.

Il est facile de montrer que D, A, B et D' sont alignés et séparés de 1.
On trace maintenant E et E' les points tels que DAE et D'BE' soit équilatéraux et de façon à ce que E et E' soient du même côté de la droite (AB) que C'.

E et E' sont rouges, or C aussi et il est clair (faire un dessin ^^) que CEE' est équilatéral, d'où la contradiction.

2ème solution: on peut obtenir la contradiction en supposant que par exemple D est rouge (alors CC'D est équilatéral et rouge).
En effet, on peut supposer ça dès qu'on peut trouver 3 points alignés A, B et C tels que AB=BC=1 et A et C sont de couleurs différentes, autrement dit, dès qu'on peut trouver deux points distants de 2 et de couleur différente.
Il est évident qu'on peut en trouver grâce à l'hypothèse absurde (sinon on prend un triangle équilatéral de côté 2, qui doit avoir ses sommets de la même couleur...)

13: On suppose par l'absurde que la distance entre 2 des 5 points est toujours supérieure strictement à r racine de 2.

Alors, un point "interdit" toute une moitié de sphère, qui correspond à l'hémisphère Nord, en définissant le point introduit comme le pôle Nord.

Si on met un deuxième point, il interdit aussi une moitié de sphère, et la partie qu'ils interdisent simultanément a une superficie inférieure strictement à 1/4. Donc ils interdisent en tout 1/2 + 1/2 - 1/4 = au moins 3/4 de la surface de la sphère (cela ne sert à rien, c'est juste pour visualiser un peu mieux que c'est plus petit qu'un quartier).

Soit S la surface restante. Elle a en quelque sorte une équateur (enfin un plan équatorial), qui coupe perpendiculairement et en son milieu le segment reliant les 2 points extremaux, définis comme les 2 points d'intersections des 2 plus grands cercles "d'interdiction".

Il est facile de voir que si on rajoute un point dans S, il interdit tout un hémisphère (c'est-à-dire une des parties "au-dessus" ou "au-dessous" de l'équateur), par des arguments de distances.
Si on en rajoute encore un, il interdit l'autre hémisphère.

Pour le 5ème point, il n'y a donc plus de place.

15) Le 15ème nombre premier est 47.
Supposons par l'absurde que chacun des 15 entiers ait son plus petit diviseur différent de 1 inférieur strictement à 47.

Ce plus petit diviseur, qui est premier, doit être différent pour chacun des 15 entiers, sinon ils ne seraient pas premiers entre eux.
On doit donc choisir 15 nombres premiers distincts 2 à 2 et inférieurs strictement à 47, impossible car le 15ème est 47...

Il y a donc au moins un nombre donc le plus petit diviseur (premier) est supérieur ou égal à 47. Si on suppose que ce nombre n'est pas premier, il a au moins un autre diviseur premier, qui doit être donc plus grand que 47.
Ce nombre sera donc plus grand que 47²> 2006 ce qui est absurde, donc ce nombre est premier.

16) 1- a²+b²> 2ab si et seulement si a²-2ab+b²>0 ssi (a-b)²> 0 ssi a différent de b. Il y a égalité ssi a=b.

L'inégalité à montrer (dans le bon sens) est équivalente à 2ab+2bc+2ac=< 2a²+2b²+2c² (après développement), qu'on obtient en somment les inégalités a²+b²>= 2ab, b²+c² >=2bc, a²+c²>= 2ac.

Il n'y a pas égalité dès qu'une de ces 3 inégalités est stricte, donc dès que 2 variables sont distinctes, donc il y a égalité seulement pour a=b=c.

2- On ajoute 1/a + 1/b + 1/c dans les 2 membres, et on doit montrer:
(a+b+c)(1/a² + 1/b² + 1/c²) >= 3 (1/a + 1/b + 1/c).

D'après le 1-, (a+b+c)3(1/a²+1/b²+1/c²)>= (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)², donc on doit montrer (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)²/3 >= 3(1/a + 1/b + 1/c) qui est équivalent à montrer (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>= 9, or (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) = 3+ (a/b + b/a) + (a/c+c/a) + (b/c + c/a) >= 3 + 2 + 2 + 2 = 9, car x+1/x >= 2 pour x positif.

Si lorsqu'on utilise le 1-, on a une inégalité stricte, alors le résultat est strict aussi.
Le cas d'égalité est donc un cas d'égalité du 1-, donc on doit avoir 1/a²= 1/b²= 1/c² c'est-à-dire a=b=c, qui est bel et bien un cas d'égalité.

17- 1+x^2006 >= 2 x^1003 en posant a=1 et b = x^1003 dans l'inégalité a²+b²>= 2ab.

Il nous reste à montrer (1+x)^2004 >= 2^2004 * x^1002
or en posant a=1 et b = racine de x, on a 1+x >= 2 racine de x, donc (1+x)^2004 >= 2^2004* x^1002, ce qui conclut.

18- On prend un segment AB de longueur a.
On trace les 2 droites parallèles à (AB) telles que leur distance à (AB) soit 2/a. Alors les points de S sont tous compris entre ces 2 droites: s'il y en a un, disons C, à l'extérieur, sa distance au segment AB est strictement plus grande que 2/a, donc l'aire de ABC est strictement plus grande que 1.

Soit ABC le triangle de plus grande aire.
On trace les 3 parallèles aux côtés passant par le 3ème côté (par exemple la parallèle à (AB) passant par C). Elles forment alors un grand triangle qui contient S, car par le même argument que précédemment, si on prend un point D à l'extérieur, il existe un segment, AB, BC ou AC tel que le triangle formé avec D ait une aire supérieure à celle de ABC, ce qui est absurde.

Il suffit maintenant de montrer que ce grand triangle est d'aire inférieure à 4. On appelle A' le sommet du grand triangle opposé à A, B' le ...

A'BC= A'BA + A'CA - ABC, en appellan XYZ l'aire du triangle XYZ.
Or A'BA et A'CA ont chacun une aire inférieure à celle de ABC, par construction, donc A'BA+ A'CA-ABC a une aire inférieure à celle de ABC, donc inférieure à 1, d'où A'BC a une aire inférieure à 1.

De même, B'AC et C'BC ont une aire inférieure à 1, or A'B'C'= A'BC+B'AC+C'BC+ABC qui est bien inférieur à 1+1+1+1= 4.

19- 2+5+13=20 n'est pas divisible par 3, tout comme 2, 5, et 13.

Montrons que si un triplet (a,b,c) est tel que a+b+c n'est pas divisible par 3, et ni a ni b ni c ne le sont, alors n'importe quel triplet auquel on peut arriver par utilisation de i) et ii) vérifie aussi cette propriété:

Si on transforme (a,b,c) en une permutation de lui-même, par i), c'est clair qu'on obtient un triplet satisfaisant la propriété.
Si on transforme (a,b,c) en (a,b,2a+2b-c), le nouveau triplet a pour somme a+b+2a+2b-c= 3a+3b-c qui n'est pas divisible par 3 car c n'est pas divisible par 3, donc -c, donc 3a+3b-c non plus.
De plus, on sait que ni a ni b n'est divisible par 3.

Il faut montrer que 2a+2b-c n'est pas divisible par 3:
2a+2b-c = 3(a+b) - (a+b+c) donc s'il est divisible par 3, a+b+c aussi ce qui est absurde, d'où 2a+2b-c n'est pas divisible par 3.

On a montré que d'un triplet (a,b,c) satisfaisant la propriété, on arrive à un autre triplet satisfaisant la propriété, donc ensuite encore à un autre satisfaisant la propriété, etc.
Cette propriété est donc un invariant.

On ne peut donc pas arriver de (2,5, 13) à (1, 3, Cool, car (2,5, 13) satisfait la propriété, mais pas (1,3,Cool puisque 3 est divisible par 3.

20) Lemme : pour tout graphe de 6 sommets reliés 2 à 2 par des arêtes soit rouges soit bleues, il existe un triangle rouge ou un triangle bleu.

En effet, prenons un sommet A. Il est relié à au moins 3 sommets par la même couleur (vu qu'il est relié à 5 sommets). Disons que cette couleur est le rouge, et appellons ces 3 sommets B, C et D.

Si BC, CD, ou BD est rouge, ABC, ACD ou ABD est un triangle rouge, sinon BC, CD et BD sont bleues et BCD est un triangle bleu, ce qui conclut.

Si on représente les personnes par des sommets reliés par des arêtes bleues ou rouges selon qu'elles se connaissent ou pas (respectivement), la condition de l'énoncé est équivalente à "il n'y a pas de triangle rouge".

Soit un sommet X.
Supposons qu'il soit reliée en bleu à au moins 6 sommets.
Parmi ces 6 sommets, il y a un triangle rouge ou un triangle bleu.

Il ne peut y avoir de triangle rouge, donc il y a un triangle bleu.

X est donc relié en bleu aux 3 sommets d'un triangle bleu, ce qui est ce que l'on cherchait.

Supposons maintenant que X soit relié en rouge à au moins 4 sommets.
Si on prend n'importe quel couple de sommets (A,B) parmi ces 4 sommets, et qu'on l'associe X, on a AX rouge et BX rouge donc AB bleu sinon on aurait un triangle rouge, donc tout couple de sommet de ces 4 sommets est relié par une arête bleu, ce qui est ce que l'on veut.

Ainsi, dès qu'il y a un sommet X satisfaisant une des 2 conditions ci-dessus, c'est fini.
Supposons qu'aucun sommet ne satisfasse aucune de ces 2 conditions.
Etre relié en rouge à au plus 3 sommets et en bleu à au plus 5 sommets implique d'être relié en rouge à exactement 3 sommets et en bleu à exactement 5 sommets.

Ainsi, l'hypothèse absurde est que chaque sommet est relié en rouge à exactement 3 sommets (et donc en bleu à exactement 5 sommets).

Si on compte pour chaque sommet le nombre d'arêtes rouges qui lui sont reliées, on obtient 3*9=27.

Or, en comptant de cette manière, on compte en réalité chaque arête rouge exactement 2 fois: une arête rouge est comptée pour l'une et l'autre de ses extrêmités.
On devrait donc obtenir un nombre pair, d'où la contradiction, ce qui termine le problème.

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Re: Exos secondes

Message par Roxanne le Jeu 9 Aoû 2007 - 14:38

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Re: Exos secondes

Message par musichien le Jeu 9 Aoû 2007 - 19:46

Non, je m'ennuyais, et comme je trouvais les exos d'alarcon trés beaux, je les ai faits (avec l'aimable collaboration de Tsuki Very Happy ), et comme j'avais rien à faire, je me suis dit que j'allais les rédiger tellement certaines solutions avaient l'air pas claires, et aussi parce-que quelqu'un demandait des solutions et parce-que ça me fendait le coeur que personne ne s'y intéresse (si si, c'est vrai! Rolling Eyes Smile ), et comme je trouvais ça pas correct moralement de poster que des solutions, j'ai voulu aussi mettre des indices, ce qui, il est vrai, doit sûrement paraître prétentieux. Razz Rolling Eyes

(alors là, si tu me crois! Suspect No Very Happy )

Dis-leur, Tsuki, toi qui me connais, que je ne suis pas prétentieux! Crying or Very sad Crying or Very sad

ça partait d'une bonne intention! Non, pas la pièce aux boulets! Pas la pièce aux boulets! Arrow

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Re: Exos secondes

Message par Tsuki le Jeu 9 Aoû 2007 - 21:41

Bah poster des solutions d'exercices pour des secondes n'est je pense pas vraiment un signe de prétention ^^

(Bon d'accord, ces exercices pour des secondes sont pas vraiment de niveau 2nde, mais quand même... Laughing )

musichien est un gentil petit qui aime les maths et veut partager son travail avec des personnes, sans aucune prétention, si si, j'vous jure Mrgreen

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